Visions, Dreams, and Mathematics (PDF)

V i s i o n s , D r e a m s , a n d M a t h e m a t i c s B a r r y M a z u r A u g u s t 1 , 2 0 0 8 1 I nt r o duct i o n M a t h e m a t i c i a n s c a n h a r d l y a v o i d m a k i n g u s e o f s t o r i e s o f v a r i o u s k i n d s , t o s a y n o t h i n g o f i m a g e s , s k e t c h e s , a n d d i a g r a m s , t o h e l p c o n v e y t h e m e a n i n g o f t h e i r a c c o m p l i s h m e n t s , a n d o f t h e i r a i m s . A s P e t e r G a l i s o n h a s p o i n t e d o u t , w e m a t h e m a t i c i a n s o f t e n a r e n e v e r t h e l e s s s i l e n t — o r p e r h a p s e v e n u n e a s y — a b o u t t h e r o l e t h a t s t o r i e s a n d i m a g e s p l a y i n o u r w o r k . I f s o m e o n e a s k s u s W hat is X ? w h e r e X i s s o m e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , w e b o l d l y a n s w e r , f o r w e h a v e b e e n w e l l t r a i n e d i n t h e a r t o f d e fi n i t i o n s . A l l t h e fi n e a r t i c u l a t i o n s o f l o g i c a l s t r u c t u r e a r e a t o u r fi n g e r t i p s . I f , h o w e v e r , s o m e o n e a s k s u s W hat does X mean? w e r e s p o n d a s a n y h u m a n m u s t r e s p o n d w h e n e x p l a i n i n g t h e meaning o f s o m e t h i n g : w e a r e t h r u s t i n t o t h e w h i r l w i n d o f i n t e r p r e t a t i o n s , i n t e n t i o n s , a i m s , e x p e c t a t i o n s , d e s i r e s , a n d s h a d e s o f s i g n i fi c a n c e t h a t , i n e ff e c t , d e p e n d l a r g e l y u p o n t h e s t o r y w e h a v e w o v e n a r o u n d t h e c o n c e p t . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e i n n o c u o u s q u e s t i o n : W h a t d o e s i t m e a n t o fi n d X i n t h e p o l y n o m i a l e q u a t i o n X 2 = 2 ? W e f r a m e a n a r r a t i v e t h e m i n u t e w e o p e n o u r m o u t h s t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . I f w e s a y “ X = ± √ 2 ” without r e a l i z i n g t h a t a l l w e ’ v e d o n e i s j u s t t o g i v e a c i p h e r - l i k e n a m e “ √ 2 ” t o w h a t e v e r i s a s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m , a n d h a v e d o n e h a r d l y m o r e t h a n r e g i s t e r t h a t t h e r e a r e t w o s o l u t i o n s , w e w i l l h a v e — i n e s s e n c e — r e e n a c t e d t h e f o l l o w i n g j o k e p o s t e d b y s o m e h i g h s c h o o l s t u d e n t o n t h e i n t e r n e t : 1  Fi g u r e 1 : I f w e say e x a c t l y t h e s a m e t h i n g , “ X = ± √ 2 , ” b u t fully r e a l i z i n g t h a t w e ’ v e j u s t g i v e n a c i p h e r - l i k e n a m e “ √ 2 ” t o w h a t e v e r i s t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m , t h e r e b y c h r i s t e n i n g a n e n t i t y a b o u t w h i c h all we know, and possibly, all we need to know i s t h a t i t b e h a v e s l i k e a n y o t h e r n u m b e r a n d t h a t i t s s q u a r e i s t w o , t h e n w e w i l l h a v e — i n e s s e n c e — r e e n a c t e d o n e o f t h e g r e a t a d v a n c e s i n e a r l y m o d e r n a l g e b r a t h a t g i v e s u s e x t r a o r d i n a r y p o w e r i n o u r d e a l i n g s w i t h a l g e b r a i c n u m b e r s . T h i s i s a v i e w p o i n t t o w h i c h t h e n a m e L e o p o l d t K r o n e c k e r i s o f t e n a t t a c h e d . I f w e s a y X = ± 1 . 4 1 4 . . . w e w i l l b e t h r u s t i n g o u r p r o b l e m i n t o y e t a n o t h e r c o n t e x t , w i t h i t s o w n i n t e r p r e t a t i o n s , a n d n a r r a t i v e . O u r s t o r y w i l l b e a b o u t K r o n e c k e r ’ s d e s i r e — h i s dr eam, I w i l l s o m e t i m e s c a l l i t — - t o fi n d s o l u t i o n s o f a l a r g e a n d i n t e r e s t i n g c o l l e c t i o n o f p o l y n o m i a l e q u a t i o n s . B u t , a s w e h a v e j u s t s e e n , w h a t i t m e a n s t o fi n d s o l u t i o n s — e v e n f o r a s i n g l e e q u a t i o n — r e q u i r e s f r a m i n g . I n f a c t , I w i l l b e l e s s i n t e r e s t e d i n K r o n e c k e r , a n d m o r e i n t h e d i s e m b o d i e d d e s i r e , t h e d r e a m , t h e fr ame, a n d e s p e c i a l l y h o w i t c h a n g e s a s i t i s s h a p e d b y g e n e r a t i o n s o f m a t h e m a t i c i a n s : I w a n t t o t h i n k a b o u t t h e v o y a g e , i f I c a n u s e t h a t l a n g u a g e , o f t h e d r e a m . 2 V o y a g e s The her o sets out. . . A n d t h e n , i f t h e s t o r y i s l i k e m o s t g o o d o n e s , t h e t a l e w i l l m a k e u s p a s s i o n a t e l y c o n c e r n e d a b o u t t h e h e r o ’ s m o m e n t s o f e l a t i o n a n d d i s a p p o i n t m e n t ; l o v e a n d d e a t h . Fo r t h e v o y a g e r s e t t i n g o u t w i t h a m b i t i o u s d r e a m s , y e s , L ’ u n i v e r s e s t ´e g a l `a s o n v a s t e a p p ´e t i t . A h ! q u e l e m o n d e e s t g r a n d `a l a c l a r t ´e d e s l a m p e s ! B u t t h i n g s — h a p p i l y — d o n ’ t a l w a y s e n d u p w i t h t h e t r a g i c d i s i l l u s i o n m e n t o f B a u d e l a i r e ’ s l i n e : 2  A u x y e u x d u s o u v e n i r q u e l e m o n d e e s t p e t i t ! A p h i l o s o p h e r , a n d f r i e n d o f m i n e , D a v i d L a c h t e r m a n — w h o w r o t e a s u r p r i s i n g b o o k , The E thics of G eometr y— o n c e s a i d , w i t h a h i n t o f s u p e r i o r i t y , a s I t r i e d t o e x p l a i n s o m e m a t h e m a t i c s t o h i m : i n d a r k c o n t r a s t t o p h i l o s o p h y , t h e r e i s n o tr agedy i n m a t h e m a t i c s . . . H e m e a n t , o f c o u r s e , n o t r a g i c i d e a s — n o t r a g e d y t r e a t e d i n t h e s u b s t a n c e o f t h e “ i d e a s ” — t h a t f o r m t h e s t a p l e o f m a t h e m a t i c s 1 . R e a l v o y a g e s , o r fi c t i o n a l o n e s , a r e o f t e n r e s o n a n t w i t h i m p e n d i n g l o s s , a n d a c c o u n t s o f t h e m n e e d o n l y g i v e t h e b a r e s t c l u e s f o r u s t o d e t e c t a t r a g i c t i m b r e , a s w h e n a d e p r e s s e d s c h o o l t e a c h e r o p e n s h i s n a r r a t i v e a s k i n g t o b e r e f e r r e d t o a s I s h m a e l , o r e v e n a s i n t h e s e e m i n g l y l i b e r a t i n g o p e n i n g l i n e s o f K a w a b a t a ’ s Snow Countr y T h e t r a i n c a m e o u t o f t h e l o n g t u n n e l i n t o t h e s n o w c o u n t r y . M athematics a l s o h a s i t s v o y a g e s , o f a s o r t 2 , t h a t b e g i n w i t h s o m e idea, a v i s i o n o f s o m e m a t h e m a t i c i a n w h o — b e c a u s e o f t h e e n e r g y a n d u r g e n c y o f t h e i d e a — i s g o a d e d o n t o t r y t o a c h i e v e s o m e g r a n d p r o j e c t — a p r o p h e t i c d r e a m o f s o m e f u t u r e t h e o r y t o b e d e v e l o p e d . A D r eam i n s h o r t 3 . S o m e y e a r s a g o , a c e r t a i n m a t h e m a t i c i a n — c a l l h i m o r h e r X — i n c o m m e n t i n g o n t h e h u g e t a l e n t d i s p l a y e d b y a n o t h e r m a t h e m a t i c i a n Y — m a d e a t r e n c h a n t a f t e r - r e m a r k : “ Y i s a n e x t r a o r d i n a r y m a t h e m a t i c i a n , b u t h e has no dr eams.” T h e e x p e c t a t i o n , t h e n , i s t h a t g o o d m a t h e m a t i c i a n s h a v e t h e m . W h a t d o e s i t m e a n t o h a v e — i n t h e s e n s e i m p l i e d b y t h a t r e m a r k — - d r e a m s ? T h e o l d D e l m o r e S c h w a r t z s h o r t s t o r y I n D r eams B egin R espon- sibilities4 g e t s i t s e n e r g y f r o m t h e u r g e n c y o f a d i ff e r e n t g e n r e o f d r e a m . B u t a l l d r e a m s o f v i s i o n — b e i t M a r t i n L u t h e r K i n g ’ s w h e r e i t i s a c a l l t o a c t i o n — o r K r o n e c k e r ’ s , t h e p a r t i c - u l a r f o c u s o f t h i s e s s a y , w h e r e i t i s a c a l l t o c o n t e m p l a t i o n — c o m e w i t h r e s p o n s i b i l i t i e s . T h e r e a r e m a n y e x a m p l e s w h e r e t h e a r t i s t , t h e s c i e n t i s t , o r t h e m a t h e m a t i c i a n h a s a v i s i o n o f s o m e w a y — a s y e t u n f o r m e d — o f t h i n k i n g . A n d I d o n ’ t m e a n m e r e l y o f s o m e thing 1 He c ou l d n ’ t p os s i b l y h av e m e an t t h at t h e r e i s n on e i n t h e l i v e s of t h e p r ac t i t i on e r s , on w h om t h e f at e s h av e p r op or t i on e d al m os t as m u c h m i s f or t u n e as on t h e r e s t of h u m an i t y . 2 S e e Ap os t ol os D ox i ad i s ’ s e s s ay E u cl i d ’ s P o et i cs : A n ex a m i n a t i o n o f t h e s i m i l a r i t y bet w een n a r r a t i ve a n d p r o o f , w h e r e —am on g ot h e r t h i n gs —co n s t r u ct i o n o f a n a r r a t i ve i s c om p ar e d w i t h co n s t r u ct i o n o f a p r o o f an d w h e r e b ot h ar e m e t ap h or i c al l y v oy age s f r om on e p l ac e t o an ot h e r , an d t h e p l ac e s “v i s i t e d ” c an b e l ai d ou t as on a m ap 3 a w i d e - aw ak e d r e am t h e r e f or e ; as d i s t i n c t f r om s l e e p i n g d r e am s t h at c on t ai n m at h e m at i c al i d e as t h at c an b e t r an s p or t e d t o ou r w ak i n g l i f e , s u c h as i s on e of t h e t h e m e s of M i c h ae l Har r i s ’ s gr e at e s s ay i n t h i s v ol u m e 4 T h e p r ot agon i s t i s d r e am i n g ab ou t w at c h i n g a m ov i e of h i s p ar e n t s ’ c ou r t s h i p , an d s c r e am s t h i n gs at t h e s c r e e n . T h e r es p o n s i bi l i t y f or t h e c h ar ac t e r i n t h at s t or y , i s t o b r e ak aw ay f r om h i s p ar e n t s , t o b e c om e an ar t i s t . 3  n e v e r b e f o r e t h o u g h t b u t r a t h e r , m o r e w r e n c h i n g l y , o f s o m e e n t i r e way of thinking n e v e r b e f o r e t h o u g h t . T h e r esponsibility i s t h e n c l e a r : t o f o l l o w i t w h e r e i t l e a d s . T h e r e i s o n e s t r i k i n g d i ff e r e n c e b e t w e e n a s t r a i g h t s t o r y o f a v o y a g e 5 a n d a n y v o y a g e o f i d e a s i n m a t h e m a t i c s o r i n a n y o f t h e s c i e n c e s . A l t h o u g h t h e i n i t i a l “ t r a v e l l e r ” i s a p e r s o n , a l o n e m a t h e m a t i c i a n p e r h a p s , i f t h e a r c o f m a t h e m a t i c a l d i s c o v e r y a n d e n l i g h t e n m e n t p r o v i d e d b y t h e d r e a m i s l a r g e e n o u g h , i t i s t h e d i s e m b o d i e d d r e a m t h a t t a k e s o v e r ; i t i s t h e i d e a t h a t ( o r w h o ) i s t h e p r o t a g o n i s t 6 a n d w h o c o n t i n u e s t h e v o y a g e . T h e “ s t o r y ” a s p e c t o f t h i s a r t i c l e i s a p r o p h e t i c v i s i o n o f K r o n e c k e r — w h e r e I w i l l t a k e t h e v i s i o n i t s e l f ( r a t h e r t h a n t h e m a n K r o n e c k e r ) a s t h e o n l y p r o t a g o n i s t — t o m u s e a b o u t i t s b i r t h , i t s d e v e l o p m e n t , a n d t h e i n g r e d i e n t s o f i t s c h a r a c t e r . I d o n ’ t m e a n t o b e t a k i n g a G e r m a n R o m a n t i c s t a n c e a n d i n s i s t i n g o n “ i d e a ” a s “ c h a r a c t e r , ” w i t h a l i f e o f i t s o w n ; j u s t a s t o r y t e l l e r ’ s s t a n c e , w i t h t h e v i e w t h a t t h i s m a y b e t h e b e s t o r g a n i z a t i o n o f a n a r r a t i v e t h a t v i v i d l y b r i n g s h o m e t h e m a n n e r i n w h i c h K r o n e c k e r ’ s i d e a s a r o s e , u n f o l d e d , a n d e v e n n o w e n v e l o p e t h e g o a l s o f c u r r e n t m a t h e m a t i c i a n s . I l e a r n e d i n c o n v e r s a t i o n w i t h s o m e o f t h e c o n t r i b u t o r s t o t h i s v o l u m e h o w p r o b l e m a t i c i t i s t o e m p l o y t h e w o r d char acter i n t h i s s o m e w h a t d i s e m b o d i e d s e t t i n g , b u t I f e e l t h a t i t s h o u l d b e h a r m l e s s i f , i n s t e a d o f char acter , I v i e w K r o n e c k e r ’ s v i s i o n a s s o m e t h i n g o f a n agent i n t h e t a l e t h a t I w i l l r e c o u n t . 3 B i o g r a phi e s o f i de a s P e o p l e s o m e t i m e s s a y “ t h a t i d e a X t o o k o n a l i f e o f i t s o w n ” a n d t h i s b r a n d o f a n t h r o - p o m o r p h i z a t i o n o f t e n s i g n a l s t h a t i t i s t h e t y p e o f i d e a t h a t c a n b e m o s t f u l l y u n d e r s t o o d o n l y b y a n a r r a t i v e w h e r e t h e i d e a i t s e l f , X , — r a t h e r t h a n t h e m u l t i t u d e o f p e r s o n a l i t i e s w h o g a v e b i r t h t o i t , d e v e l o p e d i t , e x t e n d e d i t — o c c u p i e s c e n t e r s t a g e . A q u a r t e r o f a c e n t u r y a g o , I . R . S h a v a r e v i c h e x p r e s s e d a r e l a t e d t h o u g h t , m u s i n g a b o u t a — fi c t i o n a l , t o b e s u r e — s i n g l e n o n h u m a n p r o t a g o n i s t o r c h e s t r a t i n g m a t h e m a t i c s a s a w h o l e . V i e w e d s u p e r fi c i a l l y , m a t h e m a t i c s i s t h e r e s u l t o f c e n t u r i e s o f e ff o r t b y m a n y t h o u s a n d s o f l a r g e l y u n c o n n e c t e d i n d i v i d u a l s s c a t t e r e d a c r o s s c o n t i n e n t s , c e n - t u r i e s a n d m i l l e n n i a . H o w e v e r t h e i n t e r n a l l o g i c o f i t s d e v e l o p m e n t m u c h m o r e r e s e m b l e s t h e w o r k o f a s i n g l e i n t e l l e c t d e v e l o p i n g i t s t h o u g h t i n a c o n t i n u - o u s a n d s y s t e m a t i c w a y , a n d o n l y u s i n g a s a m e a n s a m u l t i p l i c i t y o f h u m a n 5 s u c h as R or y S t e w ar t ’ s i l l u m i n at i n g T h e P l a ces i n B et w een w h e r e t h e n ar r at i v e t r aj e c t or y h as an e l e gan t s i m p l i c i t y : w al k i n g i n a s t r ai gh t l i n e ac r os s Af gh an i s t an , w h i l e t h e t e l l i n g of i t h as an ob s e s s i v e v i v ac i t y 6 A ( q u i t e s h or t ) s t or y of C h e k h ov h as t h i s t y p e of ar c , w h e r e t h e os t e n s i b l e p r ot agon i s t G u s ev s om e h ow , on l y on c e d e ad an d s u m m ar i l y b u r i e d at s e a, “c ov e r e d w i t h f oam an d f or a m om e n t [ h e ] l ook e d as t h ou gh h e w e r e w r ap p e d i n l ac e , ”—on l y t h e n —d oe s s om e n on - l i v i n g s e n s e of G u s e v s oar , s u ff u s e d i n t o t h e w at e r b e l ow an d s k y ab ov e . 4  i n d i v i d u a l i t i e s — m u c h a s i n a n o r c h e s t r a p l a y i n g a s y m p h o n y w r i t t e n b y s o m e c o m p o s e r t h e t h e m e m o v e s f r o m o n e i n s t r u m e n t t o a n o t h e r , s o t h a t a s s o o n a s o n e p e r f o r m e r i s f o r c e d t o c u t s h o r t h i s p a r t , i t i s t a k e n u p b y a n o t h e r p l a y e r , w h o c o n t i n u e s i t w i t h d u e a t t e n t i o n t o t h e s c o r e 7 . A n i d e a m a y b e g i n a s t h e p a s s i o n a t e a n d p r e c i s e g o a l o f a s i n g l e p e r s o n , a n d t h e n d i ff u s e i n t o s o m e t h i n g l e s s t a n g i b l e a n d m o r e p e r s u a s i v e a n d p e r v a s i v e , t a k e n u p b y m a n y . T h e f e l t e x p e r i e n c e ( b y p e o p l e c o n t e m p l a t i n g m a t h e m a t i c s ) t h a t s o m e o f t h e s e m u l t i p l y - s h a r e d i d e a s s e e m t o h a v e a n u n c a n n y u n i t y — a s i f o r c h e s t r a t e d b y a s i n g l e i n t e l l i g e n c e , a s S h a f a r e v i c h p u t i t — - d e s e r v e s , I b e l i e v e , t o b e d i s c u s s e d a l o n g w i t h t h e m o r e c o m m o n d i s c u s s i o n s r e g a r d i n g t h e f e l t e x p e r i e n c e o f ( w h a t i s o f t e n c a l l e d ) p l a t o n i s m i n m a t h e m a t i c s , i . e . , t h a t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a r e g e t t i n g c l o s e t o P l a t o ’ s eidoi, t h o s e j o i s t s a n d p i n i o n s i n t h e a r c h i t e c t u r e o f t h e c o s m o s ; o r m o r e b r i e fl y — a n d i n t h e s t a n d a r d p e c u l i a r w a y o f s a y i n g i t — t h a t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a r e “ o u t t h e r e . ” ) C o n t e m p o r a r y m a t h e m a t i c s i s r i c h i n i t s b r o a d h o r i z o n — w i t h m a g n i fi c e n t p r o g r a m s p o i n t i n g t o f u t u r e l a r g e u n d e r s t a n d i n g s . B u t o n e d o e s n ’ t h a v e t o g o t o o f a r i n t o t h e s u b j e c t t o g e t a s e n s e o f t r a c e s o f m i g h t y i l l u m i n a t i o n s t h a t m u s t h a v e s p a r k e d v i s i o n s . W a s t h e r e , f o r e x a m p l e , s o m e a n c i e n t , s o m e w h e r e , w h o r e a l i z e d t h a t five cows, five days, a n d five finger s h a v e s o m e t h i n g i n c o m m o n , a n d t h a t i f o n e — b y a s t r a n g e t w i s t o f t h o u g h t , a n d b y fi a t — e x p r e s s e s t h a t something a s a n o u n , i . e . , a s t h e c o n c e p t five, o n e w i l l b e s e t t i n g o ff o n a w o r t h w h i l e p a t h o f t h o u g h t ? S o m e m o r e m o d e r n p a t h - s e t t e r s a r e q u i t e c o n s c i o u s o f t h e “ s e t t i n g o u t o n a n e w p a t h o f t h o u g h t , ” a n d a t t h e s a m e t i m e h u m b l e i n r e fl e c t i n g o n t h e h a r d s h i p t h e i r p r e d e c e s s o r s m a y h a v e e n c o u n t e r e d p u r s u i n g t h e e a r l y v i s i o n s i n t h e s u b j e c t . H e r e i s A l e x a n d e r G r o t h e n d i e c k ( i n t h e i n t r o d u c t i o n o f h i s m a s t e r p i e c e le L angage des Sch´emas) r e fl e c t i n g o n t h e d i ffi c u l t y o f g r a s p i n g h i s n e w v i s i o n — a n d o n t h e d i ffi c u l t y t h a t f u t u r e m a t h e m a t i c i a n s w i l l h a v e t o a p p r e c i a t e t h i s “ d i ffi c u l t y o f g r a s p i n g ” : I l s e r a s a n s d o u t e d i ffi c u l e a u m a t h ´e m a t i c i e n , d a n s l ’ a v e n i r , d e s e d ´e r o b e r `a c e n o u v e l e ff o r t d ’ a b s t r a c t i o n , p e u t - ˆe t r e a s s e z m i n i m e , s o m m e t o u t e , e n c o m p a r a i - s i o n d e c e l u i f o u r n i p a r n o s p ´e r e s , s e f a m i l a r i s a n t a v e c l a T h ´e o r i e d e s E n s e m b l e s . T h e m a t h e m a t i c a l v i s i o n s t h a t I a m c u r r e n t l y f a s c i n a t e d b y a r e t h o s e t h a t b e g i n w i t h t h e m i s s i o n o f e x p l a i n i n g s o m e t h i n g p r e c i s e , a n d t h e n — b e c a u s e o f t h e i r e x t r e m e s u c c e s s — e x p a n d a s a t e m p l a t e r e f a s h i o n e d a n d r e s h a p e d t o e x p l a i n , a n d t o u n i f y , l a r g e r a n d l a r g e r c o n s t e l l a t i o n s o f m a t h e m a t i c a l o r s c i e n t i fi c i s s u e s — t h i s r e f a s h i o n i n g d o n e b y w h o l e g e n e r - a t i o n s o f m a t h e m a t i c i a n s o r s c i e n t i s t s , a s i f a s i n g l e o r c h e s t r a . T h i n g s b e c o m e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g , n o t w h e n t h e s e t e m p l a t e s fi t p e r f e c t l y , b u t r a t h e r w h e n t h e y d o n ’ t q u i t e fi t , a n d y e t d e s p i t e t h i s , t h e i r e x p l a n a t o r y f o r c e , t h e i r u n i f y i n g f o r c e , i s s o i n t e n s e t h a t w e a r e i m p e l l e d t o r e o r g a n i z e t h e v e r y c o n s t e l l a t i o n t h e y a r e s u p p o s e d t o e x p l a i n , s o a s t o m a k e t h e m fi t . A c l e a n e x a m p l e o f s u c h a v i s i o n i s conser vation of ener gy i n P h y s i c s , w h e r e 7 I . R . S h af ar e v i c h : O n C er t a i n T en d en ci es i n t h e Devel o p m en t o f M a t h em a t i cs P oe t i c s T od ay 3 No. 1. ( W i n t e r 1982) p p 5- 9. T r an s l . : A. S h e n i t z e r 5  t h e c l a r i t y o f s u c h a p r i n c i p l e i s s o u n i f y i n g a t e m p l a t e t h a t o n e p e r f e c t l y h a p p i l y h a s t h e i n s t i n c t o f pr eser vation of conser vation laws b y s i m p l y e x p e c t i n g , a n d p o s s i b l y p o s i t i n g , n e w , a s y e t u n c o n s i d e r e d , a g e n t s — i f i t c o m e s t o t h a t — t o b a l a n c e t h e b o o k s , a n d t h e r e b y r e t a i n t h e p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y . S u c h v i s i o n s b e c o m e o r g a n i z i n g p r i n c i p l e s , s o u s e f u l i n d e t e r m i n i n g t h e phenomena t o b e e x p l a i n e d , a n d a t t h e s a m e t i m e i n s h a p i n g w h a t i t m e a n s t o explain t h e p h e n o m e n a . T h e r e i s a c u r i o u s n o n - f a l s i fi a b l e e l e m e n t t o s u c h p r i n c i p l e s , f o r t h e y g e t t o o r g a n i z e o u r t h o u g h t s - a b o u t - e x p l a n a t i o n o n a l e v e l h i g h e r t h a n t h e n o t i o n o f falsifiability c a n r e a c h . I w i l l b e t e l l i n g — a c t u a l l y , j u s t t a l k i n g a b o u t — t h e s t o r y o f o n e s u c h v i s i o n , w h i c h h a s a m u c h m u c h s m a l l e r i m p r i n t t h a t conser vation laws in physics; n e v e r t h e l e s s I l o v e i t f o r m a n y r e a s o n s n o t t h e l e a s t o f w h i c h i s t h a t i t b e g i n s , a s I w i l l t e l l i t , w i t h o n e o f t h e s p a r k s t h a t s e t o ff G r e e k m a t h e m a t i c s , n a m e l y t h e f o r m u l a f o r t h e l e n g t h o f t h e d i a g o n a l o f a s q u a r e w h o s e s i d e s h a v e u n i t l e n g t h ( i n t h e s t o r y t h i s w i l l h a v e a n a l g e b r a i c d i s g u i s e ) . T r a n s f o r m e d a n d e x t e n d e d , t h e v i s i o n — i n i t i a l l y r e f e r r e d t o a s K r o n e c k e r ’ s liebster J ugendtr aum— c o n t i n u e s t o s h a p e t h e h o p e s o f a c e r t a i n b r a n c h o f m a t h e m a t i c s , t o d a y . I ’ l l d e s c r i b e a p i e c e o f t h i s i n e l e m e n t a r y t e r m s a n d d i s c u s s t h e r o l e i t h a s p l a y e d , a n d i s c o n t i n u i n g t o p l a y , a n d i t s p o t e n c y a s i t h a s s u ff u s e d i n t o t h e b r o a d g o a l s o f m o d e r n n u m b e r t h e o r i s t s . 4 W ha t a r e o ur a i m s w he n w e t e l l s t o r i e s a bo ut m a t h- e m a t i cs ? W e s h o u l d b e c l e a r a b o u t w h e t h e r t h e s t o r i e s w e w i l l b e c o n s i d e r i n g a r e ends o r means. I n fi c t i o n , t e l l i n g t h e s t o r y i s t h e u l t i m a t e g o a l , a n d e v e r y t h i n g e l s e i s a m e a n s t o w a r d t h a t g o a l . I s u s p e c t t h a t e v e n S h e h e r e z a d e , d e s p i t e h e r d a n g e r o u s s i t u a t i o n , a n d t h e i m m e d i a t e m o r t a l p u r p o s e f o r h e r s t o r y t e l l i n g , w o u l d a g r e e t o t h i s . I n m a t h e m a t i c a l e x p o s i t i o n s m o s t s t o r y e l e m e n t s a r e u s u a l l y i n t e n d e d t o s e r v e t h e m a t h e m a t i c a l i d e a s : s t o r y i s a m e a n s , t h e i d e a s a r e t h e e n d . I f , t h e n , s t o r i e s i n m a t h e m a t i c a l e x p o s i t i o n a r e a m e a n s , a n d n o t a n e n d , to what a r e t h e y a m e a n s : w h a t d o t h e y a c c o m p l i s h ? L e t u s t r y t o t h r o w t o g e t h e r a p r o v i s i o n a l t a x o n o m y o f “ k i n d s o f s t o r y t e l l i n g ” i n m a t h e m a t i c s , b y t h e v a r i o u s p o s s i b l e a n s w e r s t o t h i s q u e s t i o n . I f e e l t h a t t h e r e a r e t h r e e s t a n d a r d f o r m s , a n d a l s o a f o u r t h f o r m — t h e o n e I a m i n t e r e s t e d i n — t h a t h a s t o d o w i t h t h e a r c o f a m a t h e m a t i c a l v i s i o n , t h e c h a r a c t e r b e i n g t h e v i s i o n i t s e l f . M y n a m e s f o r t h e s t a n d a r d o n e s a r e • Or igin-stor ies e x p l a i n i n g s o m e o r i g i n a l m o t i v a t i o n f o r s t u d y i n g t h e m a t h e m a t i c s b e - i n g d e s c r i b e d , t h i s m o t i v a t i o n b e i n g e x t e r n a l t o t h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l i d e a s t h e m s e l v e s , • P ur pose-stor ies d e s c r i b i n g s o m e p u r p o s e t o t h e m a t h e m a t i c a l n a r r a t i v e , a p u r p o s e e x t e r n a l t o t h e c o n t e x t o f m a t h e m a t i c s i t s e l f , a n d 6  • R aisins in the pudding w h i c h a r e o r n a m e n t a l b i t s o f s t o r y m e a n t t o p r o v i d e a n e c d o t a l d i g r e s s i o n s o r p e r h a p s a c e r t a i n a m o u n t o f r e l i e f f r o m t h e t o i l s o f t h e e x p o s i t i o n . A t t h e l e a s t t h e y a r e i n t e n d e d t o a d d e x t r a c o l o r . B u t t h e p r i m a r y r e l a t i o n s h i p o f t h e s t o r i e s o r s t o r y - f r a g m e n t s i n t h i s c a t e g o r y t o t h e m a t h e m a t i c a l s u b j e c t i s o r n a m e n t : t h e y a r e n o t r e q u i r e d t o h e l p i n f u r t h e r i n g – i n a n y d i r e c t w a y – t h e r e a d e r ’ s c o m p r e h e n s i o n o f t h e m a t e r i a l , n o r d o t h e y fi t i n a s a p a r t o f t h e s t r u c t u r e o f t h e a r g u m e n t p r e s e n t e d . 5 K r o ne ck e r ’ s D r e a m N o m a t t e r h o w o n e t e l l s t h e s t o r y , t o m y m i n d , t h e s e e d f o r K r o n e c k e r ’ s d r e a m i s i n G a u s s ’ s e x p r e s s i o n f o r s q u a r e r o o t s o f i n t e g e r s a s t r i g o n o m e t r i c s u m s , i . e . , a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f r o o t s o f u n i t y . A r oot of unity i s a n a l g e b r a i c n u m b e r w i t h t h e p r o p e r t y t h a t a p o w e r o f i t i s e q u a l t o 1 ; s o i = √ − 1 i s a f o u r t h r o o t o f u n i t y , a n d e 2 π i n i s a n n - t h r o o t o f u n i t y . T h e u r - e x a m p l e o f a n e x p r e s s i o n o f a s q u a r e r o o t o f a n i n t e g e r a s a t r i g o n o m e t r i c s u m i s √ 2 = | 1 + i | ( m o r e g e n e r a l l y , s e e t h i s f o o t n o t e 8 ) . Fr o m g a z i n g a t t h i s f o r m u l a t o e n v i s i o n i n g K r o n e c k e r ’ s g r a n d h o p e i s a g i a n t s t e p , a n d w e w i l l p r o c e e d s l o w l y . ( Fo r o n e t h i n g , w e n e e d w r e s t l e w i t h t h e q u e s t i o n : w h a t d o e s t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e f o r m u l a g a i n f o r y o u i n d e a l i n g w i t h t h e l e f t h a n d - s i d e , a n d m o r e g e n e r a l l y : w h y i s i t a g o o d t h i n g t o e x p r e s s s q u a r e r o o t s e x p l i c i t l y a s w e i g h t e d s u m s o f r o o t s o f u n i t y ? ) K r o n e c k e r ’ s Ju g e n d t r a u m w a s c r y p t i c a l l y e x p r e s s e d a s “ H i l b e r t ’ s 1 2 t h P r o b l e m , ” a n d p e o p l e w h o w i s h t o f o l l o w t h e n a r r a t i v e o f K r o n e c k e r ’ s d r e a m w i t h t h e H i l b e r t P r o b l e m s a s a b a c k d r o p , s h o u l d c o n s u l t N o r b e r t S c h a p p a c h e r ’ s On the H istor y of H ilber t’s Twelfth P r oblem: A Comedy of E r r or s w h i c h o ff e r s b o t h a m a j e s t i c v i e w o f t h e m a t h e m a t i c a l c l i m a t e o f t h e t i m e s , a n d a s e n s i t i v e c l o s e r e a d i n g o f t h e t e x t u a l e v i d e n c e a v a i l a b l e t o u s ; r e m n a n t s o f t h i s c l i m a t e . Fo r p e o p l e w i t h a m o r e t e c h n i c a l b a c k g r o u n d w h o w i s h t o h a v e a f u l l e x p o s i t i o n o f t h e m a t h e m a t i c s i n v o l v e d , t h e r e i s t h e t r e a t i s e K r onecker ’s J ugendtr aum and M odular F unctions b y S . G . V l a d u t ( G o r d o n a n d B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 9 1 ) . T h e r e a r e m a n y w a y s o f t e l l i n g t h e t a l e , a n d i n r e c e n t e p o c h s K r o n e c k e r ’ s Ju g e n d t r a u m h a s b e e n f o l d e d i n t o o n e o f t h e g r a n d g o a l s o f m o d e r n n u m b e r t h e o r y . I w i l l t r y — a t t h e v e r y e n d o f t h i s e s s a y — t o g i v e t h e b r i e f e s t i n d i c a t i o n o f w h a t i s i n v o l v e d . 8 I f p i s an od d p r i m e n u m b e r , w e c an —f ol l ow i n g G au s s —e x p r e s s √ p ( d e c or at e d b y a s i gn an d a p ow e r of i ) as a l i n e ar c om b i n at i on of p ow e r s of e 2 π i p as f ol l ow s : ± i p − 1 2 √ p = e 2 π i / p + � 2 p � e 4 π i / p + � 3 p � e 6 π i / p + · · · + � − 2 p � e − 4 π i / p + � − 1 p � e − 2 π i / p , w h e r e t h e c oe ffi c i e n t s i n t h i s l i n e ar c om b i n at i on ar e ± 1 an d m or e s p e c i fi c al l y : � a p � i s + 1 i f a i s a qu a d r a t i c r es i d u e m o d u l o p ; t h at i s , i f a i s c on gr u e n t t o t h e s q u ar e of an i n t e ge r m od u l o p an d − 1 i f n ot ; an d e v e n t h e am b i gu ou s ± i n t h e f or m u l a c an b e p i n n e d d ow n i n a c l os e d f or m . 7  6 B o i l i ng i t do w n B u t f o r n o w , l e t m e s u c c e s s i v e l y p e e l a w a y m o r e a n d m o r e o f t h e t e c h n i c a l c o n t e x t o f K r o n e c k e r ’ s i d e a s o a s t o g e t t o w h a t m a y b e t h o u g h t o f a s i t s h e a r t . T h e fi r s t t h i n g t o s a y a b o u t i t ( i n s l i g h t l y m o r e m o d e r n v o c a b u l a r y t h a n K r o n e c k e r h i m s e l f m i g h t e x p r e s s h i m s e l f ) i s t h a t : K r o n e c k e r ’ s Ju g e n d t r a u m i s t h e v i s i o n t h a t c e r t a i n s t r u c t u r e s i n A lgebr aic G e- ometr y a n d / o r A nalytic G eometr y 9 c a n b e p u t t o g r e a t s e r v i c e : t o p r o v i d e e x p l i c i t a n d e l e g a n t l y c o m p r e h e n s i b l e e x p r e s s i o n s — i n a u n i f o r m l a n g u a g e — f o r a n i m p o r t a n t l a r g e c l a s s o f a l g e b r a i c n u m b e r s . S t r i p p i n g a w a y s o m e o f t h e p a r t i c u l a r t e c h n i c a l l a n g u a g e o f t h e a b o v e d e s c r i p t i o n w e g e t t h a t K r o n e c k e r ’ s Ju g e n d t r a u m i s o f t h e v e r y b r o a d c l a s s o f v i s i o n s o f t h e f o l l o w i n g k i n d : O n e m a t h e m a t i c a l fi e l d c a n b e a s o u r c e o f explanation b y p r o v i d i n g explicit s o l u t i o n s t o p r o b l e m s p o s e d i n a n o t h e r m a t h e m a t i c a l fi e l d . N o w , m a t h e m a t i c i a n s w h o k n o w t h e t e c h n i c a l a s p e c t s o f t h i s d e v e l o p m e n t w i l l , I h o p e , a g r e e w i t h m e t h a t t h e s o u r c e o f e x p l a n a t o r y p o w e r i n K r o n e c k e r ’ s d r e a m i s t h e u n i f o r m explicitness of the solution that he sought, as well as the economy of the vocabular y. L e t u s s t r i p s o m e m o r e , t o n o t e t h a t w e a r e d e a l i n g h e r e w i t h t h e i n t e r p l a y o f t h r e e n o t i o n s : • e x p l i c i t , • e x p l a n a t i o n , • e c o n o m y . T h e s e n o t i o n s w i l l f o r m t h e b a c k b o n e o f o u r s t o r y . T h e w o r d explicit i s a n e x c e e d i n g l y l o a d e d ( b u t i n f o r m a l l y u s e d ) w o r d i n m a t h e m a t i c a l l i t e r a t u r e . W h a t i s c u r i o u s i s h o w q u i n t e s s e n t i a l l y i n e x p l i c i t i s i t s d e fi n i t i o n , f o r i t s m e a n i n g i s v e r y d e p e n d e n t u p o n c o n t e x t ; i t ’ s a n “ I k n o w i t w h e n I s e e i t ” s o r t o f t h i n g 1 0 . O f t e n , b u t n o t a l w a y s , t o s a y “ X i s a n e x p l i c i t s o l u t i o n t o Y ” i s m e a n t t o e l i c i t a f a v o r a b l e a ff e c t o n t h e p a r t o f t h e r e a d e r . O n t h e w h o l e , “ e x p l i c i t ” i s g o o d . E x c e p t , o f c o u r s e , w h e n i t i s n o t . 9 T h e al ge b r ai c an d /or An al y t i c G e om e t r y e n t e r s i n t o t h e s t or y v i a c om m u t at i v e al ge b r ai c gr ou p s an d s t r u c t u r e s r e l at e d t o t h e s e . F or a f u r t h e r c om m e n t , s e e f oot n ot e 12. 1 0 al t h ou gh P ot t e r S t e w ar t , t h e S u p r e m e C ou r t J u s t i c e w h o w as j u s t q u ot e d , w as d e s c r i b i n g p or n ogr ap h y , a c on c e p t t h at on l y a d e c ad e l at e r w ou l d b e c om m on l y r e f e r r e d t o b y t h e ad j e c t i v e ex p l i ci t 8  T o m y k n o w l e d g e , n o o n e h a s a g o n i z e d , i n p r i n t , a b o u t t h e u s a g e — i n m a t h e m a t i c a l l i t e r a t u r e — o f t h i s w o r d explicit1 1 o r a s k e d q u e s t i o n s a b o u t i t s e v o l u t i o n . S o , o n e a i m o f t h i s e s s a y i s t o m a k e a s t a r t h e r e . A c o m p a n i o n w o r d t o explicit i s constr uctive w i t h i t s o w n v a s t h i s t o r y , a n d p e r h a p s a m o r e e x p r e s s i v e d e s c r i p t i o n o f K r o n e c k e r ’ s h o p e i s t h a t o n e m i g h t e x p l i c i t l y c o n s t r u c t algebr aic number fields1 2 b y m a k i n g h e a v y u s e o f c e r t a i n s p e c i fi c , w e l l - u n d e r s t o o d , a l g e b r a i c g e o m e t r i c o r a n a l y t i c o b j e c t s t h e v i r t u e o f t h i s b e i n g t h a t t h e c o n s t r u c t i o n w o u l d b e • t r a n s p a r e n t l y c l e a r , • u n i f o r m ( i n t h e s e n s e t h a t i t c o n s t r u c t s a l l t h e fi e l d s w e w a n t t o c o n s t r u c t i n t h e s a m e m a n n e r , a n d t h e r e f o r e i s ) • s t r i k i n g l y e c o n o m i c a l , • a l l o w i n g u s t o d i r e c t l y s e e m a n y o f t h e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f t h e c o n s t r u c t e d fi e l d s , a n d fi n a l l y w o u l d b e : • d e fi n i t i v e i n t h e s e n s e t h a t t h e c o n s t r u c t i o n c o n s t r u c t s a l l t h e fi e l d s w e w a n t t o c o n s t r u c t a n d n o n e o t h e r t h a n t h e m . T h e w o r d explain i s p e r h a p s e v e n m o r e i m p o r t a n t , b u t d o e s h a v e a n i m m e n s e l i t e r a t u r e s u r r o u n d i n g i t . N e v e r t h e l e s s , I w i l l t r y o u t a h o m e g r o w n d i s c u s s i o n o f i t . A n d w e s h a l l s e e , I h o p e , h o w t h e n o t i o n economical p l a y s i n t o b o t h o f t h e o t h e r o n e s . L e t u s b e g i n w i t h t h e m e r e w o r d s . T h e w o r d explicit i s f r o m t h e L a t i n explicitus r e l a t e d t o t h e v e r b explicar e m e a n i n g t o “ u n f o l d , u n r a v e l , e x p l a i n , e x p l i c a t e ” ( plicar e m e a n s “ t o f o l d ; ” t h i n k o f t h e E n g l i s h n o u n “ p l y ” ) . T h e w o r d explanation i s f r o m t h e L a t i n a n d i s r e l a t e d t o t h e v e r b explanar e m e a n i n g “ t o m a k e p l a i n o r c l e a r , e x p l a i n , ” o r m o r e l i t e r a l l y “ t o m a k e l e v e l , fl a t t e n , ” ( p l a n u s m e a n s “ fl a t ” a s i n t h e E n g l i s h “ p l a n e . ” ) I t w a s o r i g i n a l l y s p e l l e d explane w i t h i t s s p e l l i n g a l t e r e d b y t h e i n fl u e n c e o f t h e w o r d “ p l a i n . ” T h e m a r r i a g e o f t h e s e t w o s p e l l i n g s p r o c l a i m t h e “ c l a r i t y o f s e e i n g ” t h a t a p l a n e , s u c h a s E u c l i d ’ s , p r o v i d e s u s w i t h . T h i s b e i n g s o , i t i s n o w o n d e r t h a t M a t t h e w A r n o l d ’ s p h r a s e “ a d a r k l i n g p l a i n ” i s s o t r e n c h a n t . A fl a t p l a n e l e t s u s “ s e e t h i n g s a l l i n o n e s h o t , ” a n d t h e d e s i r a b i l i t y f o r t h i s “ a l l - i n - o n e - s h o t - n e s s ” i n o u r e x p l a n a t i o n s i s a l r e a d y h i d d e n i n t h e E n g l i s h w o r d explain. 1 1 B u t s e e f oot n ot e 15 1 2 F or a d i s c u s s i on of a l gebr a i c n u m ber fi el d s s e e S e c t i on 8. 9  7 T hr e e T r ut hs a bo ut E x pl a na t i o n I ’ m t h a n k f u l t h a t n o o n e h a s e v e r p u t m e u p b e f o r e a b l a c k b o a r d a n d a s k e d m e t o e x p l a i n w h a t I m e a n w h e n I u s e t h e w o r d explain. I ’ m a l s o p u z z l e d t h a t t h i s t e n d s n o t t o h a p p e n t o m e , o r t o a n y o n e e l s e : w e a r e c o u r t e o u s , a n d a d a p t o u r s e l v e s t o a n i m p r e s s i o n i s t i c s e n s e o f e a c h o t h e r ’ s g e n e r a l u s a g e o f e x t r e m e l y i m p o r t a n t w o r d s — l i k e explain,— h a p p y e n o u g h t h a t f o r m a l a n d s e m i - f o r m a l w o r d s l i k e pr ove, demonstr ate, show s e e m , a t l e a s t , t o h a v e a c l e a r e r s i g n i fi c a n c e . T h e fi r s t m a j o r t r u t h a b o u t explanation a s o p p o s e d t o pr oof i s t h a t t h e s u p r e m e j u d g e o f w h a t does not c o n s t i t u t e a n e x p l a n a t i o n i s t h e subject, i . e . , t h e p e r s o n t o w h o m t h i n g s a r e b e i n g e x p l a i n e d ; i n o t h e r w o r d s , y o u a n d m e . I f y o u o r I f e e l t h a t X d o e s not e x p l a i n Y t o u s , t h e r e i s n o a p p e a l ; i t j u s t d o e s n ’ t . T h e e x p l a i n e r m i g h t t r y t o r e p h r a s e t h i n g s b e t t e r , g o s l o w e r , o r e v e n j u s t s t a r t a g a i n f r o m s c r a t c h ; b u t t h e X d i d n ’ t w o r k . I n a w o r d , t h e r e a r e n o “ f a l s e n e g a t i v e s ’ i n t e r m s o f t h e j u d g m e n t o f t h e p e r s o n t o w h o m t h e e x p l a n a t i o n i s a i m e d ; t h e r e a r e , h o w e v e r , “ f a l s e p o s i t i v e s : ” w e a l l h a v e h a d o c c a s i o n s w h e r e w e j u d g e d s o m e t h i n g a s a d e q u a t e l y e x p l a i n e d t o u s , a t t h e t i m e , a n d l a t e r t h o u g h t d i ff e r e n t l y a b o u t t h e m a t t e r . T h i n g s a r e q u i t e d i ff e r e n t w h e n i t c o m e s t o pr oof. T h e g e n e r a l e ff e c t o f f o r m a l s y s t e m s , t h e n a t u r a l l a n g u a g e o f p r o o f s , i s t o d e - s u b j e c t i v i z e a s p e c t s o f o u r s c i e n c e . W h a t e x a c t l y c o n s t i t u t e s a pr oof i s g e n e r a l l y t h o u g h t t o b e — h o p e d t o b e — a p r e t t y o b j e c t i v e q u e s t i o n . T i m G o w e r s w r o t e a n a b s o r b i n g e s s a y e n t i t l e d “ R o u g h s t r u c t u r e a n d c l a s s i fi c a t i o n , 1 3 ” — w h i c h i s p a r t l y a n o ff e r i n g o f a c o l l e c t i o n o f o p e n p r o b l e m s t h a t i t s e l f p a i n t s a v i v i d p e r s o n a l p o r t r a i t o f o n e m a t h e m a t i c i a n ’ s a p p r o a c h t o h i s a r t , a n d p a r t l y a n e x p l o r a t o r y f u t u r i s t i c v i s i o n o f a n i m a g i n e d d i a l o g u e b e t w e e n m a t h e m a t i c i a n - o f t h e - f u t u r e a n d m a c h i n e - o f t h e - f u t u r e b o t h c o n j o i n e d i n p u r s u i t o f t h e d e m o n s t r a t i o n o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s . A p o s t o l o s D o x i a d i s r e f e r s t o G o w e r s ’ d e s c r i p t i o n o f pr oof i n t e r m s o f t h e “ e q u a t i o n ” P R O O F = E X P L A N A T I O N + G U A R A N T E E a n d t h i s p u t s i t s fi n g e r o n t h e b a s i c q u e s t i o n : w h a t a r e t h e u n i t s h e r e ? I . e . , h o w m u c h w e i g h t a r e e a c h o f t h e s e t w o i n g r e d i e n t s , explanation a n d guar antee g i v e n ? 1 4 . Fo r , t h e s u m m a n d “ g u a r a n t e e ” o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n m u s t h a v e t h e i m p r i m a t e u r o f objectivity ( i . e . , i n d e p e n d e n c e f r o m t h e w h i m s o f a n y subject) b e f o r e i t c a n p l a y t h e r o l l o f a n y t h i n g l i k e a g u a r a n t e e ; w h i l e t h e s u m m a n d “ e x p l a n a t i o n ” i s — a s I h a v e t r i e d t o a r g u e — i n s e p a r a b l e f r o m t h e s u b j e c t t o w h o m t h e e x p l a n a t i o n i s m e a n t t o e x p l a i n ( w h a t e v e r i t 1 3 i t c an b e f ou n d on - l i n e on T i m G ow e r s ’ h om e p age 1 4 T h at r e l at e d “e q u at i on s ” h av e b e e n s p e c u l at e d ab ou t f or a l on g t i m e c an b e s e e n f r om t h e s u m m ar y w r i t t e n b y F e l i x K l e i n of a r e p or t gi v e n on F e b r u ar y 16, 1910 i n h i s G ¨ot t i n ge n s e m i n ar ( O n t h e P s y ch o l o gi ca l F o u n d a t i o n s o f M a t h em a t i cs ) b y on e of t h e s p e ak e r s ( B e r n s t e i n ) w h o d i s t i n gu i s h e d b e t w e e n t h i n k e r s of a co n s t r u ct i ve n at u r e an d t h os e of an o bs er vi n g- co m bi n i n g n at u r e . I n m at h e m at i c i an s of t h e fi r s t k i n d , t h e l e c t u r e r c l ai m e d t h e r e i s p e r h ap s 3/4 l ogi c an d 1/4 i m agi n at i on an d w i t h t h os e of t h e s e c on d k i n d 1/4 l ogi c an d 3/4 i m agi n at i on . K l e i n d i s c u s s e s t h i s a b i t an d t h e n ab r u p t l y c on c l u d e s w i t h t h e c om m e n t : “O n l y w h e n w e s e e c l e ar l y h e r e c an on e h op e t o w r i t e r e al b i ogr ap h i e s of m at h e m at i c i an s . ” ( F or t h i s t e x t an d ot h e r i n s i gh t s I am t h an k f u l t o E u ge n e C h i s l e n k o w h o w i l l b e p u b l i s h i n g a f u l l t r an s l at i on an d c om m e n t ar y on t h i s s e m i n ar . ) 1 0  i s t h a t i t i s m e a n t t o e x p l a i n ) . I n t h e f u t u r e t h e m a c h i n e w i l l ( a s A p o s t o l o s w o u l d p r e f e r t o s e e i t , i n h i s d i s c u s s i o n o f T i m ’ s e s s a y ) d o t h e b o r i n g b i t s o f m a t h e m a t i c s , a n d t h e m a t h e m a t i c i a n s w i l l t h e n b e f r e e r t o p r o v i d e “ t h e m o r e i n t u i t i v e , i m a g i n a r y ( ’ g h o s t - l i k e ’ ) l e a p s o f c r e a t i v i t y . ” B u t a t h e m e r e p r e s e n t e d i n a l i v e l y m a n n e r i n o u r c o n f e r e n c e i s t h a t s o m e d a y “ p r o o f ” m a y b o i l d o w n l a r g e l y t o a q u e s t i o n o f “ g u a r a n t e e , ” w i t h “ e x p l a n a t i o n ” o c c u r r i n g o n l y i n t r a c e a m o u n t s ; s o m e d a y t h e r e m a y c o m e a b o u t c o m p u t e r - g e n e r a t e d p r o o f s w h e r e t h e s u p r e m e j u d g e m i g h t – i n f a c t – n o t b e y o u o r m e , b u t r a t h e r a n a n d r o i d i n M i c h a e l H a r r i s ’ s s e n s e , a n a n d r o i d w h o g r a c i o u s l y p r o v i d e s t h e a r g u m e n t a t i o n , a n d s i m u l t a n e o u s l y p r o v i d e s t h e i r o n c l a d “ c h e c k ” o f t h e v a l i d i t y o f t h i s a r g u m e n t a t i o n . A s I r e a d T i m ’ s e s s a y , t h e f u n t h e r e i s t o d i s t i n g u i s h t h e A ndr oid f r o m t h e A ndr i n t h e c o n v e r s a t i o n b e t w e e n t h o s e t w o i n d i v i d u a l s i n T i m ’ s c h i m e r i c a l d i a l o g u e d e s i g n e d p r o d u c e a m a n / m a c h i n e c o - a u t h o r e d t h e o r e m . B u t , o f c o u r s e , t h e r e i s r e a l l y n o d i ffi c u l t y i n d i s t i n - g u i s h i n g b e t w e e n t h o s e t w o c o n v e r s a t i o n a l i s t s . T o a r g u e t h a t t h e r e a l w a y s w i l l b e n o s u c h d i ffi c u l t y , l e t m e i n t r o d u c e y o u t o C h l o e . Chloe i s w h a t m y w i f e G r e t c h e n a n d I c a l l t h e v o i c e t h a t c o m e s o u t o f t h e G l o b a l P o s i t i o n i n g S y s t e m ( G P S ) d e v i c e o f o u r c a r . C h l o e , j u d g i n g b y h e r c h a t s w i t h u s , i s g e n t l e , a l m o s t a l l u r i n g , a l w a y s e n c o u r a g i n g , a n d w h e n e v e r s h e w a n t s u s t o m a k e a r i g h t o r l e f t t u r n s h e g i v e s u s t w o - t e n t h s o f a m i l e w a r n i n g . I f w e d i s o b e y h e r i n s t r u c t i o n s s h e e x h i b i t s j u s t t h e t i n i e s t b i t o f i m p a t i e n c e a s s h e s a y s ( a f t e r t a k i n g a b r e a t h — p e r h a p s a s t i fl e d s i g h ) ” R e c a l c u l a t i n g ! ” N o w d e s p i t e t h i s a p p a r e n t p a r t n e r s h i p , t h e r e i s a g r e a t p a r t i t i o n b e t w e e n C h l o e a n d u s i n o u r c o m m u n a l e n t e r p r i s e : i t i s w e — a n d n o t C h l o e — w h o a c t u a l l y h a v e t h e desir e t o g e t f r o m o n e p l a c e t o a n o t h e r ; i t i s ( o f t e n ) C h l o e w h o p o s s e s s e s t h e i n f o r m a t i o n o f h o w t o g e t f r o m o n e p l a c e t o a n o t h e r . T h i s b r i n g s m e t o t h e s e c o n d p o i n t I w a n t t o m a k e , a n o b v i o u s o n e : desir e p u r e a n d s i m p l e i s o f t e n t h e m a i n m o t i v a t o r f o r e x p l a n a t i o n ( “ I w a n t t o k n o w h o w t h i s w o r k s , a n d w h y ” ) a n d u n t i l w e d i r e c t o u r v a r i o u s s t u d i e s t o t h i n g s t h a t m a t h e m a t i c a l a n d r o i d s desir e to know, t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a t h e m a t i c i a n a n d c o m p u t e r w i l l b e e s s e n t i a l l y e q u i v a l e n t t o t h e r e l a t i o n s h i p I h a v e t o C h l o e ; a n d n o t h i n g m o r e . A t h i r d m a j o r t r u t h ( “ t r u i s m , ” i n f a c t ) a b o u t explanation i s t h a t i t i s a r e l a t i v e n o t i o n . W e o n l y e x p l a i n t h i n g s i n t e r m s o f o t h e r t h i n g s . A s a r e s u l t , a t a n y g i v e n t i m e i t p a y s t o h a v e a t h a n d a g o o d s t o c k o f “ a l r e a d y u n d e r s t o o d t h i n g s ” o r , a t l e a s t , o f t h i n g s t h a t w e t a k e p r o v i s i o n a l l y as under stood t o w h i c h t h e e x p l a n a t i o n w e a r e c u r r e n t l y b e i n g g i v e n c a n t h e n b e l i n k e d . T h i s t y p e o f s t r u c t u r e — s o m e w h a t l i k e t h e c o n c e p t o f stipulation i n t h e l a w — i s f o r m a l l y b r a n d e d o n t o o u r m a t h e m a t i c a l s y n t a x i n t e r m s o f t h e common notions a n d postulates o f E u c l i d , a n d t h e a x i o m s o f m o r e m o d e r n m a t h e m a t i c s . T h i s b e i n g t r u e , w e a r e o f t e n e x h o r t e d t o ( i n e ff e c t ) t a k e t h i n g s a s u n d e r s t o o d , e v e n w h e n t h e y a r e n ’ t , s o a s t o p r o v i d e c o n v e n i e n t p o s t s o n w h i c h t o l a t e r h a n g f u r t h e r e x p l a n a t i o n s . W h e n w e a c c e p t t h i s w e a r e d e a l i n g i n explanation-futur es a s i n a s o r t o f s t o c k - m a r k e t o f t h e m i n d . T h i s i s m o r e a n d m o r e c u r i o u s t h e c l o s e r o n e e x a m i n e s i t , a n d i t i s a m a z i n g t h a t w e f e e l a s s a t i s fi e d a s w e s o m e t i m e s d o , i n p l a y i n g t h i s g a m e . O f t e n t h e s e p o s t s — u t t e r l y u n - u n d e r s t o o d a t t h e t i m e o f t h e i r i n s t a l l a t i o n i n o u r t h o u g h t s — e v e n t u a l l y g r o w r o o t s , a n d b e c o m e c o n f u s e d l y 1 1  t a g g e d a s “ t h i n g s w e u n d e r s t a n d , ” o u t o f m e r e f a m i l i a r i t y a n d n o t h i n g m o r e ; t h o u g h — o f c o u r s e , t h e y e x p l a i n n o t h i n g t o u s . T h e s u c c e s s o f t h i s s e e m s t o s u g g e s t t h a t t h e q u i p “ S h u t - u p , ” h e e x p l a i n e d . o c c u r r i n g i n a R i n g L a r d n e r n o v e l s i g n a l s a m o r e c o m m o n — a n d p e r h a p s a b e t t e r — e x p l a n a t i o n t h a n o n e m i g h t a t fi r s t t h i n k . O n e v e r y c o m m o n k i n d o f “ e x p l a n a t i o n - f u t u r e ” i s e x p e r i - e n c e d w h e n w e l e a r n a n e w w o r d . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , w h a t h a s b e e n e x p l a i n e d t o u s , a n d w h a t h a s n o t , i f w e p a r t i c i p a t e ( a s p a t i e n t ) i n t h e f o l l o w i n g m i n i - d i a l o g u e : “ D o c t o r , w h y d o a l l m y m u s c l e s a c h e ? ” “ Y o u h a v e m y a l g i a ! ” “ O h ! ” Fo r o n e t h i n g , t h a t o u r d i s e a s e h a s a n a m e i s a l r e a d y i n f o r m a t i o n ; k n o w i n g t h i s a l o n e , w e k n o w t h a t w e a r e n o t a l o n e — t h a t t h e r e i s s o m e r e c o g n i t i o n o f i t a s a n a c t u a l d i s e a s e — t h a t o u r d o c t o r m i g h t p o s s i b l y h a v e s o m e e x p e r i e n c e i n t r e a t i n g i t — t h a t h e a l t h i n s u r a n c e m i g h t p a y , e t c . B u t d e s p i t e t h e u s e f u l n e s s o f a l l t h i s n e w i n f o r m a t i o n , t h e r e s p o n s e t h e d o c t o r g a v e t o t h e p a t i e n t ’ s q u e s t i o n i s n o t a n e x p l a n a t i o n i n a n y r e a s o n a b l e s e n s e ; i t i s , h o w e v e r , a p e g o n w h i c h t o h a n g f u t u r e r e a l e x p l a n a t i o n s i f t h e y e v e r a p p e a r : I c a n g o o ff , f o r e x a m p l e , a n d G O O G L E “ m y a l g i a . ” I t i s r i d i c u l o u s l y u n f a i r t o l i k e n s u c h a n “ e x p l a n a t i o n - f u t u r e ” ( a s X l e a r n i n g t h a t a p a r t i c u l a r d i s e a s e — k n o w n t o X o n l y b y i t s s y m p t o m s — h a s a s t a n d a r d t e c h n i c a l L a t i n n a m e w i t h G r e e k r o o t s ) t o a m a t h e m a t i c a l f o r m u l a — e . g . , s u c h a s G a...